繪制極坐標阿基米德螺線方程曲線的方法

Excel中的雷達圖與解析幾何中的極坐標既相似又相異。

主要的相似處就是：它們都是從一個中心點沿著射線方向出發(fā)，使用離開中心的徑向距離，作為定位參數中的一個指標。

主要的相異處(另一相異處將在后面單獨列出)就是：

極坐標是以向右方向(正東，方位角90°)為起始位置，以逆時針方向角度為正值，且往往以弧度計值，從而作為定位參數的另一個指標。極坐標的極角是任意角，可正可負，可大于一個圓周角、多個圓周角乃至于N個圓周角周而復始地旋轉;

而雷達圖沒有角的概念，它是以參與作圖的數據點個數來平分中心角，各個數據點按相同的角增量，再按上述第一個徑向距離定位。如果使雷達圖模擬一個圓周角，就要設置360個數據點。不必多于360，因為即使設置720、1080個數據點，它也是將一個周角等分成720份、1080份來處理。

基于上述分析，可以用Excel雷達圖模擬極坐標來繪制一些極坐標方程的曲線，因為不需要將極坐標方程各點坐標轉換成直角坐標后，再在直角坐標系繪制散點圖，可以在雷達圖直接繪制。不過要注意幾點：數據點最好取360個(0～259);每個角度要化成弧度：1°≈0.017(弧度)

對于三角函數，如是以2π為周期的，在極坐標方程中表現(xiàn)為閉合0～2π之間的心臟線，如周期有所變化的，在0～2π之間的表現(xiàn)周而復始的多葉線;對于發(fā)散性的螺線，就要注意起始和終結處的處理。

先作準備工作：在M2單元格設定1°的角對應的弧度，對M2使用絕對引用。

A列從A3開始為X在[0,359]上取值，從0開始，到359，數據間隔為1;

B列從B3開始是公式，將角度換算成弧度：在B3中鍵入=A3*$M$2，對M2單元格中1°的角對應的弧度數的值使用絕對引用，對A3單元格的角度的值使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的B362：

先以三角函數的心臟線為例。

ρ=sinθ

在C3中鍵入=SIN(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的C362。

只需選取C3：C362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下圖。這也是條封閉的曲線，與極坐標系做的同一曲線圖差了90°這是起始位置相異所致。另外在圖中也可以看到雷達圖對于負值的處理：

ρ=cosθ

在D3中鍵入=COS(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的D362。

只需選取D3：D362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下圖。這也是條封閉的曲線，與極坐標系做的同一曲線圖差了90°這是起始位置相異所致。另外在圖中也可以看到雷達圖對于負值的處理：

ρ=10(1-sinθ)

在E3中鍵入=10-10*SIN(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的E362。

只需選取E3：E362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下圖。由于表達式計算時已無負值，坐標軸的最大最小值的處理已按數據點的極值自動調整：

ρ=10(1+cosθ)

在F3中鍵入=10+10*COS(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的F362。

只需選取F3：F362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下圖。由于表達式計算時無負值，坐標軸的最大最小值的處理已按數據點的極值自動調整：

當周期改變?yōu)?π/n時，正弦或余弦函數在0～2π之間，可以出現(xiàn)n次周而復始的現(xiàn)象，其在極坐標中的圖象就會呈現(xiàn)所謂的多葉線，下面以三葉線和五葉線為例

ρ=10sin3θ 三葉線

在G3中鍵入=$K$2*SIN(B3*3)，$K$2對K2單元格中預先設置的數值使用相對引用。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的G362。

只需選取G3：G362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下面的三葉線圖：

ρ=10sin5θ 五葉線

在H3中鍵入=$K$2*SIN(B3*5)，$K$2對K2單元格中預先設置的數值使用相對引用。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。然后向下拖曳復制到與A列相對應的H362。

只需選取H3：H362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下面的五葉線圖：

極坐標方程中最與眾不同的就是極角的弧度與實數相乘而得的阿基米德螺線一類螺線。

古希臘數學家阿基米德(前287-前212)不只對物理做出了貢獻，他的幾何學研究也稱得上是希臘數學的巔峰。他不光研究圓、橢圓、拋物線、旋轉拋物體，還提出了一種特殊的螺旋線，這種螺旋線由兩種運動形成：設想一個蟲子站在勻速旋轉的圓盤之上，從圓心沿某個半徑向外爬行，它的影子會在天花板上繪出一條螺線。這螺線就是阿基米德螺線。

阿基米德螺線又稱“等速螺線”。當一點P沿動射線OP用速度v做等速率直線運動的同時，這條射線又以等角速度ω繞點O旋轉，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”，其極坐標表示式是：

ρ=aθ

這里a為實數，ρ是點P到極點的距離，θ是用弧度表示的射線與極軸的夾角。

尤其注意的是：角θ是以弧度表示的角。弧度這一概念在中學數學中介紹過。初接觸弧度制時，不少學生是在朦朦朧朧中接受的，知其然不知其所以然：角度蠻好的嘛，為什么要用弧度?弧度、弧度搞得人糊里糊涂。而在這里實際作圖時，可以理解弧度作為實數可以和實數a相乘了，可以作出美麗的曲線了，如果是沿襲角度制，兩者相乘，那其結果就不倫不類、風馬牛不相干了。以上只是 “為知新而溫故”。

而在雷達圖中可以直接作出阿基米德螺線

ρ=aθ

在I3中鍵入=$K$2* B3，$K$2對K2單元格中預先設置的數值使用相對引用。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。注意：這里使用角的弧度數與實數相乘了，會出現(xiàn)什么結果呢?向下拖曳復制到與A列相對應的I362。

只需選取I3：I362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，就可得下面的阿基米德螺線(等速螺線)圖：

稍稍注意該圖就可以發(fā)現(xiàn)連接首末兩數據點之間的一條虛線，該虛線格式是我特意設的，為的是說明前面提示的雷達圖與極坐標的另一個相異處：在雷達圖中各相鄰數據點默認都會有線條連接，在最后一個數據點和第一個數據點之間也會自動連線，因此每一個系列的折線都是一個閉合圖形。極坐標不具有此特性。

在本例中，第一個數據，θ=0，ρ=0;末數據θ=2π時，ρ=10π=62.4。顯然首尾兩點相距甚遠，但由于雷達圖的緣故，兩點直接連上了。我為了說明這個問題，將其設置為紅色虛線。

本例之前的例子都是使用三角函數進行計算，由于周期函數的緣故，數據都會周而復始，首尾數據相同，數據點自動重合，曲線也會很自然地首尾相接，這種圖形的閉合很自然。但是當遇到類似于等速螺線、對數螺線之類逐漸發(fā)散展開的螺線，第一個數據與最后一個數據不相同時，雷達圖也會強制性地將其連接，強迫圖形閉合，這種閉合圖形就極不自然。

以極坐標系中阿基米德螺線為例與之相比，除了初相以及旋轉方向不同之外，兩者主要差異也就在這首尾相接的線條上。請看在極坐標系中阿基米德螺線ρ=10 θ的曲線圖：

其實只要單獨選中這一段數據線，對這一連線單獨設置格式，使其顏色為無色即可，使原本存在的線條淡出視線。如下圖所示：

類似的，還可以處理對數螺線：

ρ=αe^(kφ)極坐標方程曲線α=10,e=2.71828,k=0.218

在J3中鍵入 =10*(2.71828^(0.218*B3))。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數使用相對引用。注意：這里使用角的弧度數與實數相乘之后再作為自然對數e的指數，向下拖曳復制到與A列相對應的J362。

只需選取J3：J362，選作雷達圖即可。刪去圖例、數據標志等，再單獨選中連接首尾數據點的一段數據線，將其顏色為無色即可(仔細看可以看到兩點在作圖時出現(xiàn)的連線，我以線條顏色透明度較大來處理，淡化視覺感受，從而忽略它的存在)，就可得下面的對數螺線圖：